Question

直角三角形三个角是22.5度90度67.5度边长10厘米求高和斜边

Answer 1

此题不知是初二,还是初三,还是高中题目,本人就用三种方法
设直角△ABC中,C=90°,A=22.5°,B=67.5°,AC=10cm,CD是斜边AB的高,按照此题意思,是求CD和AB的长,本人为了解答说明方便,就这样设题目.

高中解法：求出tan22.5°的值,进而解三角形即可.解法如下：
由2倍角公式tan2α=2tanα/(1-tan²α),得tan45°=2tan22.5°/(1-tan²22.5°)=1,整理得
tan²22.5°+2tan22.5°-1=0,解得tan22.5°=√2-1（另外一个负值舍去）
所以BC=ACtan22.5°=10(√2-1),AB=√(BC²+AC²)=10√(4-2√2),这是一个二重根号的数.
由S(△ABC)面积公式,得0.5·AC·BC=0.5·CD·AB,解得CD=AC·BC/AB=10(√2-1)/√(4-2√2).

初中解法：用几何方法求出比值,之后求解三角形,解法如下：
以AB为底边,作等腰直角三角形ABD,其中点D和点C在直线AB同侧.设BD与AC交于点E,过点E作AB垂线EF,垂足为F（自己画好图再看下面分析）,则有∠DAC=∠CAB=22.5°,所以有DE=EF,AF=PA,注意到△EFB是等腰直角三角形,所以有EF=BF,设EF=PE=FB=a,则BE=√2a,AF=PA=PB=PE+EB=(√2+1)a,所以EF/AF=a/(√2+1)a=√2-1.

如果你上初二,可以用三角形相似解法求解,证明Rt△ABC∽Rt△AEF,得到BC/AC=EF/AF,
解得BC=AC·EF/AF=10(√2-1),AB=√(BC²+AC²)=10√(4-2√2),这是一个二重根号的数.
由S(△ABC)面积公式,得0.5·AC·BC=0.5·CD·AB,解得CD=AC·BC/AB=10(√2-1)/√(4-2√2).

如果你上初三,则求出EF/AF=tan∠CAB=tan22.5°后,得BC=ACtan22.5°=10(√2-1),AB=√(BC²+AC²)=10√(4-2√2),这是一个二重根号的数.
由S(△ABC)面积公式,得0.5·AC·BC=0.5·CD·AB,解得CD=AC·BC/AB=10(√2-1)/√(4-2√2).