Question

定积分定义求极限的两个理解的问题

Sn=(1/n){1/(2+1/n)+1/(2+3/n)+.....+1/(2+(2n-1)/n)} n趋于无穷 可以看成 1.f(x)=1/(2+x)得积分，上下限为2和0，分点为2/n 2.上面的分母中2n-1)/n实际取的就是每个小区间的中点， 定积分的值与取区间中的哪一个点没关系，那么就是f(x)在0到2上积分，但是老师的答案在积分外面还乘了1/2,难道取区间中点与端点有区别? 还有一个， Sn=(1/n){1/(2+1/n)+1/(2+2/n)+.....+1/(2+(2n)/n)} 这个上下限仍然是0到2，区间分点为2/n，那f分母的1/n,2/n..有的没在自己的区间内部啊，比如3/n这个点应该取在4/n到6/n之间，但是却取在区间外面了，这个答案别就是fx在0到2上积分，我理解有问题?

Answer 1

Sn=(1/n){1/(2+1/n)+1/(2+3/n)+.....+1/(2+(2n-1)/n)}
把(2n-1)/n看成xn
即:
xn=(2n-1)/n
则:△x=xn-x(n-1)=(2n-1)/n
-(2(n-1)-1)/n=2/n,即:分点为2/n
当n->无穷,xn->2,x1->0,所以:上限为2,下限为0
所以:Sn=(1/n)(1/(2+x1)+(1/(2+x2)+...+1/(2+xn))
=(1/2)*△x*(1/(2+x1)+(1/(2+x2)+...+1/(2+xn))
=(1/2)∫(上限2,下限0)(1/(2+x))dx
问题的关键在于△x等于多少,然后问题就好解决了。