计算积分∫∫xydxdy,其中D是抛物线y^2=x和直线y=x-2所围成的闭区域
y1=-1，y2=2
把y=x-2变为x=y+2，①
代入y^2=x得y^2-y-2=0，解得y=-1或2，代入①，x=1或4，所以两线交于点(1,-1),(4,2)。
原式=∫dy∫xydx=(1/2)∫y[(y+2)^2-y^4]dy=(1/2)∫(4y+4y^2+y^3-y^5)dy=(1/2)[2y^2+(4/3)y^3+(1/4)y^4-(1/6)y^6]|=(1/2)[8-2+(4/3)(8+1)+(1/4)(16-1)-(1/6)(64-1)]。
扩展资料：
计算积分注意事项：
在应用上积分作用不仅如此，被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。主要分为定积分、不定积分以及其他积分。
积分的性质主要有线性性，保号性，极大值极小值，绝对连续性，绝对值积分等。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。
参考资料来源：百度百科-积分
参考资料来源：百度百科-抛物线
∫xydxdy
=∫[-1,2] dy∫[y^2,y+2] xy dx
=∫[-1,2] ydy {1/2*x^2|[y^2,y+2] }
= 1/2*∫[-1,2] [y^3+4y^2+4y-y^5] dy
= 45/8
例如：
∫∫xydxdy=∫xdx∫ydy
=∫x(x²/2-x^4/2)dx
=∫(x³/2-x^5/2)dx
=(x^4/8-x^6/12)│
=1/8-1/12
=1/24
共同点：
①原点在抛物线上，离心率e均为1。
②对称轴为坐标轴。
③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。
不同点：
①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2。
②开口方向与x轴的正半轴相同时，焦点在x轴的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x的负半轴相同时，焦点在x轴的负半轴上，方程的右端取负号。
联立y²=x 和y=x-2求出积分上下限
y1=-1,y2=2
下面在y轴上积分。见图片。
=∫[-1,2] dy∫[y^2,y+2] xy dx
=∫[-1,2] ydy {1/2*x^2|[y^2,y+2] }
= 1/2*∫[-1,2] [y^3+4y^2+4y-y^5] dy
= 45/8
