Question

一道线性代数问题求助

设A、B都是n阶矩阵，A+B可逆，证明：
(1)如果AB=BA，则B(A+B)^-1A=A(A+B)^-1B
(2)如果A、B都可逆，则B(A+B)^-1A=A(A+B)^-1B
(3)等式B(A+B)^-1A=A(A+B)^-1B总成立
给点思路也行啊，不用安全给出详细步骤，谢谢
QQ237533929

Answer 1

第一问
等式左边右乘（A+B）
B(A+B)'A(A+B)=B(A+B)'(AA+AB)=B(A+B)'(AA+BA)=B(A+B)'(A+B)A=BA
等式右边右乘（A+B）
得到AB
证明完毕
第二问利用(AB)'=B'A'=A'B'这个关系式
等式左边变为[A'(A+B)B']'=[(E+A'B)B']'=[B'+A']'
等式右边变为[B'(A+B)A']'=[(B'A+E)A']'=[B'+A']'
证明完毕
第三问我不太清楚，但是我知道第三问的充分必要条件是，矩阵A和B为对称矩阵

Answer 2

B (A+B)^{-1} A
= [(A+B)-A] (A+B)^{-1} [(A+B)-B]
= [I-A(A+B)^{-1}] [(A+B)-B]
= A (A+B)^{-1} B

Answer 3

可以到秦皇岛昌黎两山乡草粮屯村，找一个叫杜X刚的人渣，他也许会