Question

已知：如图12，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2.若点F从点B开始以每秒1个单位

1.用T的代数式表示AG
2.设△AGE的面积为S，写出S与T的函数关系式
3.当T为何值时，点F和点C是线段BH的三等份点
求详细解答，谢谢

Answer 1

：（1）如图2：∵GA//BC，∴ ，
又∵AB=6，AD=2∴ DB=4，由于BF= t ∴
∴AG=
过点E作EK⊥AG，垂足为K。
∵∠BCA=600，
∴∠CAK=600
∴∠AEK=300
∵AE=2，AK=1，EK=
∴S= AG。EK= × t× = t
(2)如图2，连结DE，由AD=DE可知，△ADE为等边三角形。
若AB⊥HG，则AO=OD，∠AEO=∠DEO。
∵GA//DE，∴∠AGE=∠GED，∵∠AGE=∠AEG
∴ AG=AE=2
∵ t=2，∴t=4. 即当t=4时，AB⊥GH
（3）∵△GAD ∽△FAB ∴
∵△GAE ∽△HCE ∴ ，∴BF=CH
当点F与点C重合时，BC=FH
当点F在BC边上时，BC=BF+FC=CH+FC=FH
当点F在BC的延长线时，BC=BF-FC=CH-FC=FH
∴BC=FH。
∵△ABC与△GFH的高相等，
∴S△GFH=S△ABC= ×6×3 =9
∴无论t为何值，△GFH的面积均为9 。
（4）BC=FH，BF=CH。
1当点F在线段BC上时，若点F 和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH，∵BF=CH，∴BF=FC。
∵BC=6， ∴BF=FC=3，
∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点。
2如图3，当点F在BC的延长线上时，若点F 和点CA是线段BH的三等分点，则BC-CF=FH。
∵BC=FH，
∴ BC=CF 。
∵BC=6
∴CF=6
∴BF=12
∴当t=12时，点F 和点C是线段BH的三等分点。