Question

求y值域：y=根号（x^4+x^2+1）-根号（x^4-x^2+1）

高中方法
1L你看清题目了么……

Answer 1

y=√[x^4+x^2+1]-√[x^4-x^2+1]
两个根号下分子有理化：
y=[(x^4+x^2+1)-(x^4-x^2+1]/[√(x^4+x^2+1)+√(x^4-x^2+1)]
=2x^2/[√(x^4+x^2+1)+√(x^4-x^2+1)]
显然，根据此式，y>=0；其中当x=0时，取最小值y=0;

当x≠0时，分子分母同除以x^2
y=2/[√(1/x^4+1/x^2+1)+√(1/x^4-1/x^2+1)]

设分母用t表示
t=√(1/x^4+1/x^2+1)+√(1/x^4-1/x^2+1)>2倍的四次根号下(1-1/x^4+1/x^8)＝2倍的四次根号下[(1/x^4-0.5)+0.75]≥2倍的四次根号下0.75
(利用均值不等式a+b≥2√ab，仅且仅当a=b时取＝；注意：本题中两个根号下式子不可能相等，故不能取＝)
所以1/t<2倍的四次根号下0.75
y=2/t<4×(四次根号下0.75)

y∈[0,4倍的四次根号下0.75)

Answer 2

y=根号（x^2+1）^2-根号（x^2-1）^2;
当x>=1或x<=-1时，y=x^2+1-x^2+1=2；
当-1<x<1时，y=x^2+1+x^2-1=2*x^2;
所以， 0<y<2,
综上所述，0<y<=2.
解答完毕。。。