Question

高数一道关于导数的证明题目，求解

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

这个题目考的三大中值定理，看到开区间端点函数值相等就想到罗尔定理，那就开始从要证明的式子出发，寻找原函数

追问

构造F(x)=e^(x^3)这一步是怎么想出来的？

追答

比较难描述

其实原理是积分，加上一点猜想

大概是这个样子

Answer 3

设g(x)=e^(x^3)*f(x)，则g(x)在[a,b]上连续且可导
g(a)=g(b)=0
由罗尔定理，在区间(a,b)内必定存在c，g'(c)=0
g'(c)=(3c^2)*e^(c^3)*f(c)+e^(c^3)*f'(c)=0
由于e^(c^3)>0，所以(3c^2)*f(c)+f'(c)=0
证毕

Answer 4

构造函数g(x)=f(x)·e^x³
则g(a)=g(b)
根据罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得g'(ξ)=0
f'(ξ)·e^ξ³+3ξ²·f(ξ)·e^ξ³=0
即f'(ξ)+3ξ²f(ξ)=0

Answer 5

构造辅助函数
g(x)=x³ f(x)
对这个函数应用罗尔定理，直接就得到结果。