Question

求一个函数极限的证明

n趋向于正无穷时证明n*q^n的极限是0 （q的绝对值小于1）

Answer 1

如果-1<q<0,那么0<-q<1，n*q^n=(-1)^n*n*（-q）^n.
所以只对0<q<1证明结论即可。

设0<q<1,则p=1/q>1，记p-1=t,t>0. 于是
0<n*q^n=n/p^n=n/(1+t)^n
=n/[1+nt+n(n-1)t^2/2+...+t^n]
<n/[n(n-1)t^2/2]
=2/[(n-1)t^2]->0 (n->∞)

根据夹逼定理即得极限为0.

Answer 2

考虑正项级数（n*[q]^n），
liman+1/an=[q]<1,级数收敛，
故级数（n*q^n）收敛，有liman=0,n*q^n的极限是0