Question

独点集是开集还是闭集？

Answer 1

独点集是闭集。

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。 由此可以引申在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。不要混淆于闭流形。

我们把一个集合A的所有极限点所组成的集合称为A的导集，记为A'，因此用数学符号来定义闭集的话，就是：如果A'⊆A，那么A是闭集。规定空集为闭集。而如果一个集合没有极限点，那么A'=∅。因为空集是任何集合的子集，所以A'⊆A仍然成立，即A仍然是闭集。

闭集还有另外一个定义。如果一个集合包含它所有的边界点，那么这个集合叫做闭集。若以A来表示A的边界点，那么：如果AA，那么A是闭集。

A是闭集当且仅当它的补集是开集。

设A是闭集，用Ac表示其在度量空间内的补集，根据开集的定义，只需要证明Ac中的点都是内点即可。

任取一点x∈Ac，若假设x不是Ac的内点，则根据内点的定义，在x的任意一个邻域内，都至少有一点不属于Ac，即在x的任意一个邻域内，都至少有一点属于A。并且很明显，这一点不可能是x自身（因为x∈Ac）。

根据极限点的定义，因为x的任意一个邻域内都有一点属于A，并且这一点不是x，所以x是A的极限点。再根据A是闭集的条件，得到x∈A，矛盾。因此假设不成立，x一定是Ac的内点。根据x的任意性可知，Ac中每一点都是内点，所以Ac是开集。

或者干脆从边界的角度出发，因为A和Ac共用边界，所以如果A是闭集，那么A包含它的边界，因此Ac不可能包含边界，于是Ac是开集。反之，如果Ac是开集，那么Ac不含边界，因此边界点属于A，因此A是闭集。