请问高等数学这两道定积分题目怎么写，求大佬详细解释，谢谢
概念与性质
从求曲边梯形的面积走来，极限为定积分的出现增辉
从求变速直线运动的路程走来，物理和数学从不分家
要点：曲线弧取极小一段时近似为线段
可积：f(x)在区间［a，b］上的定积分存在
f(x)可积所需的两个充分条件：
1.在积分区间内连续
2.在[a，b]内有界且只有有限个间断点
性质
补充规定：
⑴当b=a，f（x）在［a，b］的积分等于0
⑵当a>b，负号
微积分基本公式
换元法和分部积分法
换元法
分部积分法
第一类反常积分 无穷限的反常积分
第二类反常积分 无界函数的反常积分
- 该反常积分也称“第一类p积分”
- 常见题型：计算，讨论收敛性，证明收敛和发散，
定积分的换元公式
请点击输入图片描述
先上题练手：
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
「框框里假装有“换元必换限，配元不换限”」
可以有效去掉根号，且不用代回（与不定积分比较）
偶倍奇零「对称区间」偶函数定积分可以算一半，奇函数定积分为零
证明：利用奇偶函数的定义+定积分的性质
请点击输入图片描述
比如，有的题要求一个非常复杂的函数在对称区间内的定积分，看是不是奇函数——是的话直接写零就可以（这种真的爽），偶函数的话就不会太复杂，有时还可联系函数几何意义——一开始就是拿来求长度面积体积的嘛。
三角函数的定积分公式
请点击输入图片描述
没错，直接直接把sin换cos，不过我觉得还是手写的耐看——
请点击输入图片描述
咱先不证明，来看一道题：
看成x乘以后面一串f（sinx）
请点击输入图片描述
然后就可以换元积出来。
证明：两个定积分，积分线一致，sin换为cos，可设x=π/2-t，然后“奇变偶不变，符号看象限”，把t看作一锐角大小，dx=-dt，
请点击输入图片描述
其实几何意义来看也很简单明了……毕竟图像平移对称一通乱搞就相等了（三角函数图像果然更熟悉对吧可惜这需要升华）
第二个，设x=π-t，则dx=-dt
然后！
出现π-t差的积分，再分开来，
右侧又出现了这个东西，那就好使了，移到左边，左右同除以2，就成了
请点击输入图片描述
难搞，没有原函数，Newton-Leibniz不能用，好在有三角函数积分公式。
所以可以直接算( ´▽` )
请点击输入图片描述
「机灵.jpg」
周期函数的定积分公式
这个不放图也可以自己想象……
任何长为一周期的定积分相等
（就是换元法）
积分上下限放上去，差求出来
用分部积分法时，反三角函数一旦出现，都要把它取为u，
后边可以凑出原函数d（1-x²）=-1/2dx（换元法）
要是带绝对值呢？
请点击输入图片描述
去绝对值，要是有正有负？
用积分区间可加性分开，节点就是符号改变的那个点。
比如下面这个不是周期函数的——
请点击输入图片描述
那个由于t∈（a,b），所以在其积分区间内取，不会出现没有定义的情况
！！！注意符「负」号！
看例题
先换元再分部，注意符号第一步
反对幂三指
f（x）被积函数是sint/t，又没有原函数(ー`´ー)
但好在它还是个积分上限函数，积分上限函数的导数是我最拿手的了，
请点击输入图片描述
把fx当成u，fx和。。。凑出du
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
就有了……
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
前面就是0，后面还能凑微分dx²
相当于二重积分
请点击输入图片描述
自变量在积分上限和被积函数中同时存在
请点击输入图片描述
上法不通，考虑换元
令u=x-t，du=-dt，积分下限当t=0 u=x，
请点击输入图片描述
变常规
练习：第五题
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
证明：设u=sinx的n-1次幂
请点击输入图片描述
反常积分底——广义积分
积分区间为无穷区间，或被积函数无界，不属于上面提到的充分条件中的函数
一、无穷限的反常积分
引例：
请点击输入图片描述
先取一个有限的比1大的数b，可算［1,b］的定积分，然后让b趋于+∞，求极限即可
极限值存在，则称反常积分收敛，不存在则称该反常积分发散。
请点击输入图片描述
［-∞，+∞］呢？
利用积分区间可加性
如果［-∞，0］和［0，+∞］上的反常积分均收敛，则收敛，否则发散。
注意：不能把两个极限式子相加以其极限为要求极限，因为∞与∞的和有可能存在。
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
二、无界函数的反常积分
引例：
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
把a和b稍稍变大或变小一丢丢，就能算了
若f（x）在闭区间内一点间断——分成两个，一个左闭右开，另一个左开右闭，两边同时收敛才收敛，否则发散。
无界点，也称瑕点（奇点），积分也称瑕积分。
如果被积区间只有有限个第一类间断点，则与常积分无异。
第二类q积分
Γ函数（了解其基本的一些性质即可）
余元公
请点击输入图片描述
当一个题目同时含两类反常积分，把积分区间分开，让一个区间只含一种。
定积分章节总结
编辑于 2020-12-15
