Question

拉格朗日函数怎么构造的啊？

Answer 1

，拉格朗日的定义就是，有多少个约束，每个约束乘以拉格朗日乘子再加上原目标，所以是累加。

其实，构造这个公式的意义本身，是要求构造出的无约束问题L(w, b, alpha)与原问题等价。

Hard-margin SVM:


拉格朗日：


在求解L(w, b, alpha)过程中，我们首先将b，w固定，然后在该固定的b，w下，调整alpha，对alpha求导，


得到在该b，w下最大的L_max，那么在所有的L_max中选择一个最小的，其对应的b，w则是该拉格朗日问题的最优的b，w。并且与原Hard-margin SVM求得的b,w相同。该过程也就是


而这两个问题为什么等价，也就是为什么上述两种方法求得的b，w相同呢？下面给一个简单的说明。

假设由拉格朗日问题求得的b, w不满足原SVM的条件，即

又因为alpha>=0,因此


的最大值为正无穷。

2. 假设求得的b, w满足原SVM的条件，即



则要想取得最大值，上式中，只需要alpha_n=0,得到的最大值为


即刚好与原问题等价。

Answer 2

1. 拉格朗日函数（Lagrangian function）是应用于将约束条件引入优化问题中的数学工具。它由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）于18世纪提出。

在优化问题中，我们通常需要在满足一些约束条件下最小化或最大化某个目标函数。拉格朗日函数的构造方法可以将这类问题转换为一个无约束的最优化问题。它通过引入拉格朗日乘子将约束条件融入目标函数，从而将原始问题转化为一个单目标的无约束优化问题。

2. 拉格朗日函数的运用主要有两个方面：

- 约束优化问题：拉格朗日函数广泛应用于约束优化问题的求解。通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融入目标函数，然后对拉格朗日函数进行求导或其他数值方法进行求解，可以得到优化问题的解。

- 物理学中的变分原理：拉格朗日函数也用于描述物理系统的动力学行为。在经典力学中，拉格朗日函数可以由系统的动能和势能构造而成。然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程来推导出系统的运动方程，从而描述系统的行为。

3. 以下是一个例题讲解：

例题：求解约束条件下的最小化问题，其中约束条件为 x + y = 10，目标函数为 f(x, y) = x² + y²。

解答：首先，我们可以通过构造拉格朗日函数来求解这个问题。

假设拉格朗日乘子为 λ，则拉格朗日函数为 L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) - g0)，其中 g(x, y) 是约束条件函数，g0 是约束条件的期望值。在这个例子中，g(x, y) = x + y，g0 = 10。

构造拉格朗日函数：L(x, y, λ) = x² + y² + λ(x + y - 10)

然后，我们需要对拉格朗日函数进行求极值。我们分别对 x、y 和 λ 求导，并令其导数为零：

∂L/∂x = 2x + λ = 0
∂L/∂y = 2y + λ = 0
∂L/∂λ = x + y - 10 = 0

通过求解这个方程组，可以得到 x、y 和 λ 的值。将这些值代入目标函数 f(x, y) = x² + y² 中，即可得到最小化问题的最优解。

Answer 3

你好亲，很高兴有我为您回答问题。
拉格朗日函数是用来描述约束条件下的优化问题的函数。它的构造方法如下：
1. 首先，确定优化问题的目标函数和约束条件。目标函数是要最小化或最大化的函数，约束条件是对目标函数的限制条件。
2. 将约束条件转化为等式形式。如果约束条件是不等式形式，可以通过引入松弛变量或者将不等式约束转化为等式约束。
3. 引入拉格朗日乘子。对于每个约束条件，引入一个对应的拉格朗日乘子，记作λ。
4. 构造拉格朗日函数。将目标函数和每个约束条件乘以对应的拉格朗日乘子，并将它们相加，得到拉格朗日函数。
5. 对拉格朗日函数进行求导。对拉格朗日函数分别对目标函数的变量和拉格朗日乘子进行求导，得到一组方程。
6. 解方程组。将求导得到的方程组联立求解，得到目标函数和约束条件的最优解。
需要注意的是，拉格朗日函数的构造方法可以根据具体的问题进行调整和变化，但基本思想是一致的。