Question

已知:如图,在四边形ABCD中,∠C=90°。∠ABD=∠CBD,AB=BC,点P在BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F

已知:如图,在四边形ABCD中,∠C=90°。∠ABD=∠CBD,AB=BC,点P在BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F.
求证：PA=EF

Answer 1

连接PC
∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠C=90°
∴四边形PECF是矩形
∴PC=EF
⊿ABP和CBP中
∵AB=BC,∠ABP=∠CBP,BP=BP
∴⊿ABP≌⊿CBP
∴PA=PC
∴PA=EF

Answer 2

解：（1）连接PC、EF．
∵AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD．
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB．
又∵DP=DP，
∴△ADP≌△CDP．
∴AP=PC，AP=EF．
（2）若BD=10，P是BD的中点，
则 AP=5，
∴PC=EF=5．
∵sin∠BAP=，
∴sin∠PCE=，
∴EP=3，FP=4，
∴EP•FP=3×4=12．
即四边形PECF的面积为12．