Question

已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+1n(n+1)+1（1）证明数列{...

已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+1n(n+1)+1 （1）证明数列{an+1n}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设数列{ann}的前n项和为Sn，证明Sn＜n2n+1．

Answer 1

证明：（1）∵an+1=an+1n(n+1)+1，
∴(an+1+1n+1)-(an+1n)=1，
∴数列{an+1n}是等差数列，首项为1，公差为1；
∴an+1n=1+（n-1）=n，
∴an=n-1n．
（2）∵an=n-1n，∴ann=1-1n2，
∴数列{ann}的前n项和为Sn=n-(1+122+132+…+1n2)，
∵1n2＞1n(n+1)=1n-1n+1，
∴Sn＜n-[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=n-(1-1n+1)=n2n+1．
∴∀n∈N*，Sn＜n2n+1．