Question

高中对数函数问题

对区间[m,n](m<n)，我们定义n-m为该区间的区间长度。
设a>1，若对于任意x属于[a,2a]，都有y属于[a,a^2]满足方程logax+logay=c,且实数c的区间长度为1/2，求此时a的取值集合。

Answer 1

由题意，xy=a^c
故y=a^c/x

因为该函数在x>0时递减，所以y属于[a^(c-1)/2,a^(c-1)].
又因为存在y属于[a,a^2]：

即a^(c-1)/2>=a
a^(c-1)>=a^2

即
c>=2+loga(2)
c<=3

因为c的区间长度是1/2

故loga(2)属于(0,1/2]
0<loga(2)<=1/2

解得a属于[4,inf)

Answer 2

解答：xy=a^3

y=a^3/x 这是一个减函数，因为x∈[a,2a]

所以y∈[a^2/2,a^2]，

所以a^2/2≥a，a≥2。