Question

在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，高为2a，M、N分别是CD和DA的中点

求证：M，N，A1，C1四点共面，且四边形MNA1C1是等腰梯形
求梯形的面积
（A1点右边是B1，D的右边是C）

Answer 1

解：连接AC，A1C1，（先求出这个梯形的四边）
根据题意，AC的平方=2*a的平方，A1C1=AC=根号2*a
MN=1/2AC=(根号2/2)*a

（求出上下底之后，再求边）

因为M是DC中点，所以MC=（1/2）a，根据题意，MC1的平方=MC的平方+CC1的平方=(1/4)*a*a+4*a*a=（5/4）*a*a

MC1=(根号5/2)*a
同理，NA1=(根号5/2)*a

【这样就确定了等腰梯形MNA1C1的四边，解题时另外在草纸上画出这个等腰梯形，以便清晰继续解题。下面求梯形的高，以便算出面积】
在等腰梯形MNA1C1中，过M点做等腰梯形的高，交底部A1C1于P。根据等腰梯形性质（并且下底是上底两倍），PC1=1/2*MN==1/2(根号2/2)*a=(根号2/4)*a

根据勾股定理，PC1的平方+MP的平方=MC1的平方

MP的平方=MC1的平方-PC1的平方=[(根号5/2)*a]的平方-[(根号2/4)*a]的平方=5/4*a*a-1/8*a*a=9/8a*a
MP=3/（2*根号2）*a

梯形面积=（上底+下底）*高/2=(MN+A1C1)*MP/2=[(根号2/2)*a+根号2*a
]*[3/（2*根号2）*a]/2={[（3*根号2）/2]*a}*[3/（2*根号2）*a]/2=9/8*a*a=1.125*a*a

最后得：MNA1C1的面积为1.125*a*a