Question

关于排列组合的一个小问题

A64 我理解为24*15 15理解为C62
可是公式里的6543连乘该怎样理解？

Answer 1

首先要明白阶乘（符号！），
5的阶乘：
5！=1×2×3×4×5
10的阶乘：
10！=1×2×3×……
×10
排列数A⁴₆
=6！/（（6-4）！）
=6！/（2！）
=（1×2×3×4×5×6）/（1×2）
=3×4×5×6
=360
组合数C²₆
=6！/（2！×
（6-2）！）
=（1×2×3×4×5×6）/（（1×2）（4！））
=（1×2×3×4×5×6）/（（1×2）×（1×2×3×4））
=（5×6）/（1×2）
=5×3
=15

追问

式子转换上我大概理解了
抛开式子上的转换 从一个具体的现象上 是通过怎么一种思考 得到6*5*4*3的 这块还是有点糊涂

追答

A⁴₆=6！/（（6-4）！）=6！/（2！）=（1×2×3×4×5×6）/（1×2）
=（1×2）/（1×2）×（3×4×5×6）
=1×3×4×5×6
=360
C²₆=6！/（2！×（6-2）！）
=6！/（2！×4！）
=（1×2×3×4×5×6）/（（1×2）×（1×2×3×4））
=（（1×2×3×4）×（5×6））
=（1×2×3×4）/（1×2×3×4）×（5×6）/（1×2）
=1×（5×6）/（1×2）
=（5×3×2）/2
=5×3
=15
从n个不同元素中（任意）取出m个元素，构成不同的排列，共有不同排列数（式中m≤n）：
A（n，m）=
n！/（（n-m）！）
从n个不同元素中（任意）取出m个元素进行组合，共有不同组合（m≤n）：
C（n，m）=（n！）/（（m！（n-m）！）

明显的：分子和分母分别是一串因子（即乘数）并且分子、分母的因子同样多。分母的阶乘总小于分子的阶乘，那么我们把分子中所有与分母相同的因子全部约去，（若是排列数，这时分母只是1分子就剩下从大到小“n-m”个；
若是组合数，分子是“m！×（n-m）！”
当n＞（n-m）时，约去n！剩下（n-m！），分子也就剩下从大到小（n-m）个因子，再行约分后，分母必定也是“1”了，结果当然是整数。

约分前，先行比较n、（n-m），哪个大，先约去较大的那个阶乘更简便些。

追问

已经非常感谢了！不过我是想从分步乘法原理和分类加法原理那种基础的层面去理解。我的想象中总是出现一些可视化的动态图。比如说A64，我能看到4个色块在按照规律变化，另外有两个色块在一旁待命。我是这样理解C62*A44=A64的。我是想从这个角度去理解A64为什么会是6*5*4*3

追答

你的意思：A（n，m）
=C（n，（n-m））×
A（（n-m），（n-m））。
你的理解是对的！
比如上图：

Answer 2

A(6,4)=6！/(6-4)！=6×5×4×3

Answer 3

见面如下解答