Question

如图所示,已知∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于D,AB+BC=2BD,求证:∠BAP+∠BCP=180

Answer 1

由P做PQ⊥AB于点Q
∵∠1=∠2，PQ⊥AB，PD⊥BC（已知）
∴PQ=PD（角平分线的性质）
∵∠1=∠2，（已知）∠BQP=∠BDP=90°（垂直定义）,PQ=PD（已证）
∴△BQP≌△BDP（AAS）
∴BQ=BD 即AB+AQ=BD
∵AB+BC=2BD（已知）
∴AB+CD=BD
∴AQ=CD
又∵∠BQP=∠BDP=90°，（已证）PQ=PD（已证）
∴△PQA≌△PDC(SAS)
∴∠BCP=∠PAQ(全等三角对应角相等）
∴∠BAP+∠BCP=∠BAP+∠PAQ=180°（等量代换）

Answer 2

证明：过点P作PE⊥BM于E
∵PD⊥BC，PE⊥BM
∴∠BEP＝∠BDP＝∠CDP＝90
∵∠1＝∠2，BP＝BP
∴△BPD≌△BPE （AAS）
∴BD＝BE，PD＝PE
∵AB＝BE-AE，BC＝BD+CD
∴AB+BC＝BE-AE+BD+CD＝2BD-AE+CD
∵AB+BC＝2BD
∴2BD＝2BD-AE+CD
∴AE＝CD
∴△PCD≌△PAE （SAS）
∴∠PAE＝∠BCP
∵∠BAP+∠PAE＝180°
∴∠BAP+∠BCP＝180°

Answer 3

图呢