Question

正项数列{an}，an=2（√Sn）-1，求{an}通项及Sn

Answer 1

an=
2（√Sn）-1
√Sn=(an+1)/2
Sn=
(an+1)^2/4..............(A)
S(n-1)=
[a(n-1)-1]^2/4..............(B)
(A)-(B)得，
4an
=
an^2
+
2an
-
a(n-1)^2
-
2a(n-1)
an^2
-
2an
-
a(n-1)^2
-
2a(n-1)
=
0
an^2
-
a(n-1)^2
=
2an
+
2a(n-1)
因为，{an}是正数数列
an
+
a(n-1)不等于0
所以，an
-a(n-1)
=
2
d=2
a1=2(√a1)-1
a1=1
所以，
an=1+(n-1)*2=2n-1
2（√Sn）-1=2n-1
√Sn=n
所以，
Sn=n^2

Answer 2

很简单啊，就考一点：an=sn-s(n-1).
将an=sn-s(n-1)代入原递推式后，整理得sn+s(n-1)=1/[sn-s(n-1)]，所以
(sn)^2-[s(n-1)]^2=1，则{(sn)^2}为等差数列。由原递推式得a1=1，所以
(sn)^2=1+n-1=n，即sn=√n，s(n-1)=√(n-1)，所以an=√n-√(n-1).
通常当用sn换an走不通时，不如换种思考，用sn换an，相信题目很快就能迎刃而解了。