Question

高分求一个定积分！！！

求 1/[(a*x^2+b)*x^2] 从c到d 对x 的定积分，其中a,b,c,d为常数，x^2表示x的平方。
请给出详细解法。
若答案正确，再加金钱！！！
实在抱歉，问题的一个地方写错了，应该是求 1/[(a*x+b)^2*x^2]的定积分

Answer 1

图像如下~ 答案的前面部分有点写错了~应该是1/bc-1/bd

Answer 2

定积分1/[(a*x^2+b)*x^2]dx
=(1/a)定积分1/[(x^2+(b/a))*x^2]dx
=(1/b)定积分[(1/x^2)-(1/(x^2+(b/a))]dx
=(1/b)定积分(1/x^2)dx-(1/b)定积分[1/(x^2+(b/a))]dx

定积分(1/x^2)dx=-(1/x)|从c到d =(d-c)/(cd)

当b/a>0,
定积分[1/(x^2+(b/a))]dx=(a/b)^(1/2) *arctan((a/b)^(1/2) *x)|从c到d
=(a/b)^(1/2) *[arctan((a/b)^(1/2) *d)-arctan((a/b)^(1/2) *c)]
当b/a<0
定积分[1/(x^2+(b/a))]dx
=(1/2)(a/b)^(1/2) *ln|((b/a)^(1/2) -x)/((b/a)^(1/2) +x)|

所以：
当b/a>0,
定积分1/[(a*x^2+b)*x^2]dx
=(d-c)/(bcd)-(1/b)*a^(1/2) *[arctan((a/b)^(1/2) *d)-arctan((a/b)^(1/2) *c)]

当b/a<0,
定积分1/[(a*x^2+b)*x^2]dx
=(d-c)/(bcd)-(1/(2b))*(a/b)^(1/2) *ln|((b/a)^(1/2) -x)/((b/a)^(1/2) +x)|

当b=0,
定积分1/[(a*x^2+b)*x^2]dx
=(1/a)定积分(1/x^4)dx
=(1/a)(-1/3)(1/x^3)|从c到d
=(d^3-c^3)/(3a*c^3 *d^3)