Question

求微分分方程xy'+2y=xlnx满足y(1)=-1／9的解。 各位大神有劳了！

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

xy'+2y=xlnx
先求：
xy'+2y=0
dy/dx=-2y/x
dy/y=-2dx/x
同积分：
lny=-2lnx+c1
同取指数：
y=C*
e^(-2*lnx)=C*
x^(-2)
常数变易：C=C(x)
y=C(x)*x^(-2)
同求导：
y'=C'*x^(-2)-2*C*x^(-3)
回代原方程：
xy'+2y=xlnx
x*?(C'*x^(-2)-2*C*x^(-3))
+
2*C*
x^(-2)=xlnx
C'*x^(-1)-2C*x^(-2)+2C*x^(-2)=xlnx
C'*x^(-1)=xlnx
C'=x^2*lnx
同积分：
C=∫
x^2*lnx
dx=(1/3)*∫
lnx
dx^3=(1/3)*x^3*lnx-(1/3)*∫
x^3
dlnx
=(1/3)*x^3*lnx-(1/3)*∫
x^2
dx
=(1/3)*x^3*lnx-(1/9)*x^3+c
=(1/9)*x^3*(3lnx-1)+c
于是，得通解：
y=[(1/9)*x^3*(3lnx-1)+c]*
x^(-2)
=(1/9)*x*(3lnx-1)+c*x^(-2)
因为，y(1)=(1/9)*1*(3ln1-1)+c=-1/9，c=0那么，得特解：y=(1/9)*x*(3lnx-1)
有不懂欢迎追问