Question

计算由下列各曲线所围成图形的面积：y=1/2x^2, x^2+y^2=8(两部分都要计算)

Answer 1

1、求交点，将x^2=2y代入圆方程，得y^2+2y+1=9
y=±3-1，y=-4舍去，故y=2，x=±2
2、对圆和抛物线的重叠部分从-2到2定积分，得面积S1，圆弧方程y=√（8-x^2），积分函数为：
ψ（x）=√（8-x^2）-1/2x^2
∫[√(8
-
x²)
-
x²/2]dx
=∫√(8
-
x²)dx
-
∫(x²/2)dx
=½
x√(8
-
x²)
+
4arcsin(x/√8)
-
x³/6
+C
S1=2+π-4/3-（-2-π+4/3）=2π+4-8/3）=2π+4/3
3、计算圆剩下的部分S2=S圆-S1
=8π-（2π+4/3）=6π-4/3

Answer 2

画图
先求交点
y=x²/2
x²+y²=8
得
x=2
y=2
或
x=-2
y=2
则
2∫(x²/2)
[-2,2]
=2[x³/6]
[-2,0]
=8/3
连接两图像的交点与原点
则半径与坐标轴之间的扇形的面积为
(1/8)*(8π)=π
三角形的面积为
(1/2)*2*2=2
所以
形成的半个弓形的面积为
π-2
则
两个图形形成的面积为
4π-[2(π-2)+8/3]
=2π+4/3