Question

高中函数，要过程

1、若函数f(x)的定义域为[-2,1]，求g(x)=f(x)+f(-x)的定义域
2、求以下函数值域
1)y=2x+1/x-3
2)y=x²-4x+6,x∈[1,5)
3、已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立，求f(0)与f(1)的值

Answer 1

解：
1.∵函数f(x)的定义域为[-2,1]，即-2≤x≤1
∴函数g(x)中的f(x)，f(-x)也应满足-2≤x≤1，-2≤-x≤1
解得-1≤x≤1
∴g(x)的定义域为[-1,1]

2.
1)当x＞0时，有2x+1/x≥2√(2x*1/x)=2√2
此时y=2x+1/x-3≥2√2-3
当x＜0时，有2x+1/x=-(-2x-1/x)≤-2√((-2x)*(-1/x))=-2√2
此时y=2x+1/x-3≤-2√2-3

∴y的值域为[-2√2-3,2√2-3]

2)函数y的定义域为[1,5)，即1≤x＜5
∴-1≤x-2＜3,
∴0≤(x-2)²＜9=＞2≤(x-2)²+2＜11

∵y=x²-4x+6=(x-2)²+2
∴2≤y＜11

∴函数y的值域为[2,11)

3.此题是否条件不足，如题意这样就有
令y=0，得
f(x*0)=f(x)+f(0)=＞f(0)=f(x)+f(0)
=＞f(x)=0
∴f(0)=f(1)=0
这样的话感觉此题意义不大。

Answer 2

1.∵函数f(x)的定义域为[-2,1]，即-2≤x≤1
∴-2≤x≤1，-2≤-x≤1==>-1<=x<=2
取二者交：-1≤x≤1
∴g(x)的定义域为[-1,1]

2.
1)设f(x)=2x+1/x-3
令 f’(x)=2-1/x^2=0==>x1=-√2/2, x2=√2/2
f’’(x)=2/x^3，f’’(x1)<0，f’’(x2)>0
∴函数f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值
f(x1)=-2√2-3, f(x2)=2√2-3
∴y的值域为(-∞,-2√2-3] ∪[2√2-3,+ ∞]

2)函数f(x)=x2-4x+6, 定义域为[1,5)
F(x)=x2-4x+6=(x-2)2+2
F(1)=3, F(5)=11
∴函数f(x)的值域为[2，11）

3已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立，求f(0)与f(1)的值
函数f(x)为常数函数，即f(x)=0
∴f(0)=f(1)=0