Question

求幂级数的收敛域∞Σn=1 (x+1)^n/n·2^n

Answer 1

分享解法如下。设t=(x+1)/2。原式=∑(t^n)/n。设an=1/n。
∵ρ=lim(n→∞)丨a(n+1)/an丨=lim(n→∞)n/(n+1)=1。∴其收敛半径R=1/ρ=1。
又，lim(n→∞)丨U(n+1)/Un丨=丨t丨/R<1。∴其收敛区间为丨t丨<R=1。
而，t=1时，原式=∑1/n，发散；t=-1时，原式=∑[(-1)^n]/n，是交错级数，满足莱布尼兹判别法条件，收敛。
∴其收敛域t∈[-1,1)，即(x+1)/2∈[-1,1)。∴幂级数的收敛域为x∈[-3,1)。

Answer 2

|（x+1）^（n+1）/（n+1）·2^（n+1）÷（x+1）^n/n·2^n|＜1
|x+1|＜2
-3＜x＜1
端点你自己去讨论看看。

Answer 3

{x: abs(x + 1)<2 or x = -3}