Question

A的特征值为0,2,-2/3,A+E特征值为什么是1，3，1/3？

原理是什么 为什么矩阵多加E 特征值就多加1
还有就是在线性代数计算中 什么时候用E什么时候用数字1

Answer 1

对于方阵A来说，若λ为其特征值，则存在向量x，满足Ax=λx
等号两边同时加上x，得Ax+x=λx+x
即(A+E)x=(λ+1)x
可见，若λ是方阵A的特征值，那么λ+1就是方阵A+E的特征值
且它们对应相同的特征向量x
在线性代数中，E表示主对角线上元素都为1、其他元素都为0的单位阵
E是矩阵，用于矩阵之间的运算；而1是数字，用于实数之间的运算
比如上面的式子Ax+x，因为E乘以任意矩阵或向量都为其本身，所以x也可写作Ex
因此Ax+x=Ax+Ex=(A+E)x
但不能写作Ax+x=(A+1)x，因为1只是一个数，是不能跟矩阵A相加的
而这里的E是与A同阶的单位阵，所以可以相加