Question

线性代数题，图中画波浪线的地方是如何知道矩阵A有二重特征值2的呢？





Answer 1

因为矩阵A是三阶实对称矩阵，所以矩阵A可以相似对角化的，又由已知条件r(2E-A)＝1＝3-2 ，所以可以知道λ＝2为二重特征值。

Answer 2

属于同一个特征值的线性无关的特征向量的极大线性无关组的秩序不超过特征值的重数
r(2E-A)=1说明极大线性无关组的秩是2，所以特征值至少是2
而Ax=0有解说明0也是特征值，所以2的特征值重数不等于3，所以必然等于2

Answer 3

2E-A的秩是1啊，不太会表达emmm，你平常求出特征值要去求特征向量的时候不就是会做矩阵【λE-A】吗，该特征值对应一个特征向量就就是指这个矩阵的秩为n-1，这里的【2E-A】的秩为3-2就说明2是A的特征值且对应两个特征向量。

追问

为什么这个矩阵的秩为n-1呢?

Answer 4

r(2E-A)=1
说明|λE-A|=0，2是这个方程的一个解。
A可以线性变换为等效对角线矩阵，λE-A可以等效为
λ-a，0,0
0,λ-b，0
0,0,λ-c
=(λ-a)(λ-b)(λ-c)
λ=2,对应(2-a)(2-b)(2-c)，其秩为1，说明三个式子，只有一个不为0,2个为0,