Question

有理数的加法与减法

Answer 1

      小学时，我们就接触了几个最最基础的数学运算，比如，加法，减法，乘法和除法，在这些运算的基础之上，我们不断发掘新的东西，从运算律到综合运算，从综合运算载到解方程，一层一层不断提升，但从本质上其实还都是最基础的加减乘除的延伸而已，基本算法也一样，不过是遵循小学刚开始学的加减乘除的规律，便可算出结果。可初中的一些算式，却已经不能用小学所学的最基础的东西来解答了，因为在初中，数学天地加进来了一些不同的概念，数系从单纯的非负数逐渐走到了有理数，有理数是除无限不循环小数以外，其他所有数的总和，含有小学时没有的负数，负数在许多方面都和非负数的加减乘除算法完全相反，非常值得讨论。

        要想更好地复数的加减乘除，最好利用一个数学模型——数轴，数轴上涵盖着所有数系，包括有理数和无理数，都用在数轴上的一个点表示，数轴的中心是原点零，原点零左右两边分别是复数和正数，且数轴上越往右越大越往左越小，想在数轴上找到一个数，要确定其原点的位置，以及跳数轴的方向和跳的单位长度的距离便可以百分百无偏差的找到那个数，如果只用大脑去想负数的加减乘除有些困难，不妨试试跳数轴来解决这些难题。

        先想负数的加法，负数的加法有哪几种可能性呢？先把它列出来：负数+0，负数+负数，负数+正数。

        负数+0，姑且举例为-5+0，根据跳数轴的方法，从原点零开始向左跳五个单位长度，在向右跳0个单位长度所到达的位置，便是这题的答案——-5，有没有发现，答案就等于相加的负数，从另一个角度上来讲，零便是没有，所以才会有如此答案，因此我们可以得出第一条结论：负数+0，和等于那个负数。

        负数+负数，举例为-5+（-5），用跳数轴，从原点零开始，向左跳五个单位长度在向左跳五个单位长度所跳到的新位置便是-5+（-5）的结果——-10。从而得出结论，两个负数相加，和等于那两个数的绝对值相加在加上负号，-a+（-b）（ab都是负数）=-/a+b/，有人说，你不能只用一个算式就得出一个结论呀！所以我还可以用一个现实中的问题来解释这一算式，负数就好比欠钱，-5+-5就好比欠别人五块钱又欠了五块钱，绝对不会变成不欠钱（0）或者赚了钱（正数）吧！

        负数+正数呢？这里可以列三个例子：-1+2，-2+1，-1+1，其中一个负数没正数的绝对值大，一个负数比正数的绝对值大，还有一个负数和正数的绝对值一样大。

        －l十2，在数轴上是从原点零开始先向左跳一个单位长度在向右跳两个单位长度，答案等于1，说明负数加上一个比负数的绝对值要大的正数，结果大于零。

        -2+1，在数轴上是从原点零开始先向左跳两个单位长度在向右跳一个单位长度，结果等于-1，说明负数加上一个比它的绝对值要少的正数答案小于零。

        -1+1，在数轴上是从原点零先向左跳一个单位长度在向右跳一个单位长度，两两抵消，还是等于零，说明复数，加上一个和他的绝对值一样的正数答案等于零。

          其实，在数轴上的一个数也可以代表数轴上的一些距离，以上三个算式，所用的思路，便是将其转换成距离在进行包含运算。而我们刚才所多出的各种结论，在正规的数学书上也能找得到影子，比如数学书上的有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时和为零，绝对值不相等时去绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同0相加，得这个数。如果从以上的结论中找一找，会发现其重合度很高，

        接下来是负数的减法，同样可以分为三个类型：负数减负数，负数减0以及-正数。

        负数减负数，举例为-5-（-5）能利用反射变化解释，可以直接把-5分离出来，只看剩下的-（-5）一个数负了一遍，是负数，再负一遍便是正数，就是说，-（-5）和5完全相同，此算式的答案为零，有没有感到很熟悉？没错，这就是数学书里所谓的负负得正了！

          负数减0，也不用多说，因为任何一个数减0或者+0都等于减没有或者加没有（0本身是什么都没有）

          最后的复数减整数，或者正数减负数，依然和加法一样，负数减正数越减越少，正数-负数越减越多，至于结果大于零还是小于零，依然和两数的绝对值有关。而另一种非常简单的方法是，根据正数里的法则，减一个数等于加上这个数的相反数，这么一来，便可以将所有的减法看成加法用负数的加法法则计算，那是多么方便呀！我们的数学书中所写的有理数减法则只有一句话——减去1个数等于加上这个数的相反数，用了我们最后一种探究出的方法。

      这便是复数的加法和减法，下一篇文章，我们将探讨负数的乘和除。