Question

怎样将一个任意角三等分?只用尺规作图法的

Answer 1

已知：线段AB.
求作：线段AB的三等分点P、Q.
作法：作射线AC（点A、点B、点C不共线）,
以点A为圆心,适当长为半径,画弧,交射线AC于点D,
以点D为圆心,半径不变,画弧,交射线DC于点E,
以点E为圆心,半径不变,画弧,交射线EC于点F,
连结BF,
过点E作BF的平行线,交线段AB于点Q,
过点D作BF的平行线,交线段AB于点P,
∴点P和点Q即为线段AB的三等分点.
原理：平行线等分线段定理（用相似三角形即可证明）
下面是证明
已知：线段AB和射线AC,且A、B、C不共线,F为AC上一点,
EQ∥FB,分别交AC于点E,交AB于点Q,
DP∥FB,分别交AC于点D,交AB于点P,
且AD=DE=EF.
求证：AP=PQ=QB.
证明：∵PD∥QE（已知）
∴△ADP∽△AEQ（ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,
所构成的三角形与原三角形相似）
∴AD/AE=AP/AQ（相似三角形三边对应成比例）
∴AD/AP=AE/AQ（更比性质）
∵AE=AD+DE（已知）
又∵AD=DE（已知）
∴AE=2AD（等量代换）
∴AD/AP=2AD/AQ（等量代换）
即AQ=2AP
∵AQ=AP+PQ（已知）
∴AP=PQ（等量减等量,差相等）
同理,PQ=QB
即AP=PQ=QB
证毕.