Question

导数压轴题分析与解——2018年全国卷理数1

Answer 1

(12 分) 已知函数 .
(1) 讨论 的单调性；
(2) 若 存在两个极点 证明: .

(1)

法一 ：直接讨论 的符号

当 时， ，此时 在 上单调递减；
当 时，令 ，判别式
¡) 当 时，此时 从而 ， 在 上单调递减；
ii) 当 时，此时 ，设 的两根为 ， 且 ， 利用求根公式得

当 时 从而 在 和 单调递减；
当 时 从而 此时 在 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递减；

当 时 , 在 和 上单调递减 ，在 上单调递增. ​

法二 ：对 分参

令 ，得 ，数形结合知

当 时， ，则 ，从而 ，此时 在 上单调递减；

当 时，由 ，解得 ，则

在 和 上单调递减 ，在 上单调递增.

(2)

法一 ：

由(1)可知，若 有两个极值点，则 ，且 的两根即为 且满足韦达定理 .

易得 ，

，
若要证 只须证 ，
整理得 ，
构造函数 ，求导得
因此 在 上单调递灭 从而 成立，原式得证。

法二 ：

要证 ， 只须证

这里思路又有两个 ：

思路一

由于 ， 上式可转化为 ，

构造函数 ， 则 ， 故 ，原结论得证.

思路二

联系到 对数均值不等式 ，有 .

则把问题转化为证明对数均值不等式的基本问题，这个不等式请自己证明，网上随便一搜，也能找到.