Question

线性空间和维度

Answer 1

线性空间是元素集的在域上的线性扩张森毁，比如，对于群而言，群的所有元素构成一个集合，这个集合就作为基，通过与复数域中元素进行线性组合，就获得了一个线性空间，这个线性空间的维数就是群的阶，这种构造可以在群元素的构成的基上定义群乘法，自然的拓展为一个代数，称之为群代数。

好像扯远了，线性空间结构本身是定义了加法和标量乘法的集合，这两种运算所诱导出来的大集合就是线性空间，是基本集合中元素的线性组合。这个基本集合一般此绝备也被称之为极大线性无关组，或者是基。基的个数就是空间的维数。

线性空间真说起来好像也没什么东西，结构过于简单了。向量空间一般是有限维的，序列空间是可数维的，函数空间是无穷维的。这个维度还是有些奇怪的，闭区间上的连续函数空间的维数是多少呢？可数的还是不可数的。无穷维是自然的，毕竟可以构造出含有无穷多宏磨个元素的线性无关组，比如 ， 。去网上找了找，好像还是非常复杂的问题，根据不同的基的定义，有时可数，有时不可数。对于常用的基的定义来说不可数。多项式空间是连续函数空间的一个稠密子集，所以总可以通过多项式序列逼近连续函数，这也是一种完备化的手段，将空间中的柯西序列所定义的点也包含其中，就构成空间的一个完备化，在序列极限的意义下是封闭的。多项式空间的维数是可数的，上面的那个线性无关组就是他的一个基，但是连续函数空间就不可数了，也是很有道理的。有理数集是可数的，经过完备化后获得的实数集就不可数了。

简单的东西也依然存在着复杂的内容。