Question

e的x次方与(1+x)的α次方，二者佩亚诺余项求极限的泰勒公式有什么关系?

Answer 1

e的x次方与(1+x)的α次方，二者佩亚诺余项求极限的泰勒公式关系：e^x=1+x+x^2/2!+…+x^n/n！+o(e^x)。

用泰勒公式把它在x=0处展开得麦克劳林公式f（x）=f（x。）+f'（x。）（x-x。）+f''（x。）/2！*（x-x。）^2，+f'''（x）/3！*（x-x）^3+f（n）（x。）/n！*（x-x。）^n+Rn（x）。其中x0=0取前三项。有e^x=f（0）+f'（0）x+f''（0）/2！*x^2，+f'''（0）/3！*（x）^3。

那么原题转化为1+x+1/2x^2+1/6x^3>1+x^2。令g（x）=x+1/6x^3-1/2x^2，求导，g'（x）=1+1/2x^2-x。判别式<0。所以导函数恒大于0。

泰勒公式的余项

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。