Question

e^sinx是有界的，为什么f(x）=xtanxe^sinx就是无界的函数?

Answer 1

e^sinx是有界的，f(x）=xtanxe^sinx就是无界的函数原因：

当x→π/2-时tanx→+∞sinx→1，所以f(x)→+∞类似的，当x→π/2+时f(x)→-∞所以f(x)是无界函数。

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

不定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上部分为正，x轴之下部分为负，根据cosx在[0, 2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。

有界性：

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示

Answer 3

首先说判断有界性的常用方法
（1）f(x)在[a, b]上连续 ==》 f(x)在[a, b]上有界
（2）f(x)在(a, b)上连续且f(a+)、f(b-)存在 ==》 f(x)在（a, b）上有界
（3）f'(x)在某有限区间上有界 ==》 f(x)在该有限区间上有界
考察函数f(x)=xtanxe^sinx
其中x、e^sinx均在（-∞，+∞）上连续，
而tanx的连续区间为（-π/2，+π/2）
可看出题设条件适合方法（2）
①考察f(π/2-)
x→π/2-： x→π/2、tanx→+∞、e^sinx→e
即f(π/2-)=+∞ （不存在）
②考察f(-π/2+)
x→-π/2+： x→-π/2、tanx→-∞、e^sinx→1/e
即f(-π/2+)=-∞ （不存在）
综上，f(x)=xtanxe^sinx为无界函数