Question

随机变量的函数分布

Answer 1

引入：
可测量圆轴界面直径d，关心：截面面积
定义设X是随机变量，函数y=g(x)，则以随机变量X
作为自变量的函数Y=g(X)也是随机变量，称之为随机变量
的函数。例如:
问题：已知X的概率分布，求Y=g(X)的概率分布。

设X具有以下分布律，试求 的分布律。

解：（矩阵法）

有两种方法：分布函数求导法、公式法(必须单调函数)。
分布函数求导法：
已知连续型随机变量 的概率密度函数 ,和分布函数 ,而 ,求 的概率分布，概率密度 和分布函数 。
①由分布函数定义，求Y=g(X)分布函数。
其中积分区间就是g(X)≤y的不等式解。
②对 ,就可解出。

设随机变量 具有概率密度 求随机变量 的概率密度。
解：分布函数求导法
①第一步：
②第二步： 此时， 是分段函数，因此要对 在分段函数中进行讨论。
因此就有

设随机变量X具有概率密度 求随机变量 的概率密度。
①
当 是不可能事件,故
当
综上所述，就有：
②

定理:设随机变量X具有概率密度 。
如果 是x的单调可导函数，即恒有 或 则'Y=g(X)'是连续型随机变量，其概率密度为

其中x=h(y)是y=g(x)的反函数,
证明：讨论 情形,此时g(x)单调增加

,h'(y),h(y)单调增加
当 不可能事件,
当 必然事件,
当
综上所述：


单调递增，就是乘导数
单调递减，就是乘导数的相反数。
注:若 在有限区间[a,b]以外等于零，则只需假设在[a,b]上恒有 ，此时

设随机变量 ，试证明X的线性函数
也服从正态分布。
证明： ,



故 的概率密度为：




即： 的
故
最终

推论：正态分布的线性函数，依然服从正态分布。

设电压 ，其中是一个已知的正常数，
相角 是一个随机变量,且有 ，试求电压V的概率密度。
解：
很显然V在区间 上是严格单调的，导函数大于0，因此可以采用公式法。
很显然
那么
又 ,那么 ( 因均匀分布)。