Question

三角函数积分为什么要分段

Answer 1

因为x＝0时，被积函数无意义。这是广义积分（反常积分），0在这里是瑕点。不能直接套牛顿莱布尼兹公式。
入读国际高中或就读美高的同学普遍三角函数（trigonometricfunction）学得不是很好，有些还停留在画三角形、按计算器才能计算sin、cos、tan的水平，很大原因是国外教材注重自我探究，通过一系列的循循善诱来给出结论，但国内是反过来的，先给出结论然后给出大量的例子来展现结论。一个很典型的例子就是诱导公式，很多国际高中考试是允许带公式表的，而关于诱导公式有很多，更夸张的是除了一份度制的还会有一份弧度制的，整整一大张，但其实就是“奇变偶不变，符号看象限”十字口诀。
而积分对于高中生而言也是一块难点，换元法（bysubstitution）、分部积分法（byparts）等都是需要掌握。那么当三角函数遇到积分，就是恶梦的开始。本文基于A-Levelfurthermath对于三角函数积分的要求，结合IB、AP的内容，总结一下三角函数积分的常见方法与技巧。