Question

设是由平面x+y+z=1及三坐标平面围成的区域,则∫∫∫(x+y+z)dv= 为什么

设是由平面x+y+z=1及三坐标平面围成的区域,则∫∫∫(x+y+z)dv= 为什么不能是x+y+z＝1然后直接求体积1/6

Answer 1

显然，只有边界面x+y+z=1上的点才满足x+y+z=1，而内部的点并不满足此关系，所以不能直接代入x+y+z=1。

Answer 2

这是三重积分，表示在平面x+y+z=1及三坐标平面围成的区域上的积分，这个区域包含了平面x+y+z=1的一部分，以及内部x+y+z≤1的部分。显然，只有边界面x+y+z=1上的点才满足x+y+z=1，而内部的点并不满足此关系，所以不能直接代入x+y+z=1。
注意区别于曲面积分，因为曲面上的点都满足同一曲面表达式，所以可以将其代入被积函数。