Question

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时，值域为[a2，b2]，当x∈...

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时，值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，值域为[a3，b3]，…当x∈[an-1，bn-1]时，值域为[an，bn]，…其中a，b为常数，a1=0，b1=1． （1）若a=1，求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）若a＞0，a≠1，要使数列{bn}是公比不为1的等比数列，求b的值；并求此时[a1，b1]∪[a2，b2]∪…∪[an，bn]； （3）若a＞0，设数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，求（T1+T2+…+T2008）-（S1+S2+…+S2008）的值．

Answer 1

解：（1）a=1时，f（x）=x+b单调递增，因此{an=an-1+bbn=bn-1+b…..…．（3分）∴an=（n-1）b，bn=1+（n-1）b．…．（5分）
（2）∵a＞0，∴f（x）递增，∴bn=abn-1+b，∵bnbn-1=a+bbn-1，由条件bnbn-1为常数，∴b=0，…．（7分）
这时{bn}是公比为a的等比数列，bn=an-1，∵b=0，an=aan-1，而a1=0，∴an=0．∴[a1，b1]∪[a2，b2]∪…∪[an，bn]=[0，1]∪[0，a]∪…∪[0，an-1]，…..（9分）
当0＜a＜1时，上式=[0，1]；…．…．（10分）
当a＞1时，上式=[0，an-1]．…．（11分）
（3）当a＞0时，an=a•an-1+b，bn=a•bn-1+b，∴bn-an=a（bn-1-an-1），∴{bn-an}成等比数列，b1-a1=1，∴bn-an=an-1．…．（13分）
当a=1时，bn-an=1，∴Tn-Sn=n，∴原式=1+2+…+2008=1004×2009=2017036．…．（15分）
当a≠1时，Tn-Sn=1-an1-a=11-a-an1-a，…..（16分）∴原式=20081-a-11-a•a(1-a2008)1-a=20081-a-a(1-a2008)(1-a)2．…．（18分）