Question

一道初中题，求高手解决！！

三角形ABC三条边上的等比点D、E、F满足DC/DB=EA/EC=FB/FA=1/2，AD、BE、CF两两分别相交于G、I、H，求三角形GHI与ABC面积比

Answer 1

如图，作EM‖CD交AD于M。

则ME/DC=AM/AD=AE/AC=1/3,因BD=2DC,故ME/BD=1/6。

则EG/BG=MW/BD=1/6,得EG=1/7BE。同理可得DH=1/7AD。

因MG/GD=ME/BD=1/6，则MG=1/7MD,又MD=2/3AD,得MG=2/21AD。

得：AG=AM+MG=1/3AD+2/21AD=3/7AD； GH=AD-DH-AG=AD-1/7AD-3/7AD=3/7AD。

则有：GH/GD=3/4, GD/AD=4/7。

同理可得：BI=IG=3/7BE。

由GH/GD=3/4得：S△GHI=3/4S△GDI;

由BI=IG得：S△GDI=1/2S△GDB;

由GD/AD=4/7得：S△GDB=4/7S△ADB;

由BD/BC=2/3得：S△ADB=2/3S△ABC。

所以S△GHI=3/4×1/2×4/7×2/3S△ABC=1/7S△ABC；

即：S△GHI/S△ABC=1/7。