Question

求一个二元函数的极限

lim((x^2)y+x^5)/(x^4+x^6+2(x^3)y+y^2))
(x,y)->(0,0)

谢谢

Answer 1

极限不存在

设y=kx^2
代入得到：lim((x^2)y+x^5)/(x^4+x^6+2(x^3)y+y^2))
(x,y)->(0,0)
=lim(x->0)(kx^4+x^5)/(x^4+x^6+2kx^5+k^2x^4)
=lim(x->0)(k+x)/(1+x^2+2kx+k^2)
=k/(1+k^2)
极限与路径有关，所以，极限不存在

Answer 2

为0.
易知该极限存在。那么当x和y沿任何方向趋于0时，极限都相等。不妨设y=x,也就是沿y=x方向趋于0，易得结果为0.
（其实您还可以考虑xy是否为同阶无穷小）

Answer 3

极限应该不存在。
二楼那个设“y=kx^2”的回答对了，反例没有问题

Answer 4

为0

要考虑xy 是否为同阶无穷小。

但无论谁是高阶的无穷小，或者为同阶，分母都比分子高级，所以为0