Question

怎样证明 方程x的三次方+x-1=0有且仅有一个实根.

Answer 1

①证明该函数在R上单调②用上下定根法确定存在零点.那么即可证函数在R上上有且仅有一个零点.(证明单调性既可用导数证明,也可用定义法证明,上下定根则需先观察出一个值大于0,一个值小于0,又因为该函数在R是连续的,故在这两个值之间必有一个点的值等于零.）证明如下（导数法）：因为f（x）=x∧3+x-1,故f’（x）=3x∧2+1＞0恒成立,因此f（x）在R上单增.又f（0）=-1＜0,而f（1）=1＞0,且f（x）在R上为连续函数,故必存在x∈（0,1）,使得f（x）=0,又f（x）在R上单调递增.故f（x）在R上有且仅有一个实根.证毕.