Question

三角形全等

Answer 1

      三角形是什么？是只有三条边的封闭图形，这些小学一年级我们就知道了。那两三角形全等是什么？两三角形全等就是两个三角形三个边三个角都相等，只要两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边三条角便一定相等，这是三角形全等的性质。那么，假如有两个三角形，你能够通过什么方法来判断这两个三角形全等呢？首先，可以用全等三角形的定义来判断两个三角形全等，刚才我们说过，两个全等三角形的三个边三个角都相等，那么反过来，如果两个三角形三个边三个角相等，那么这两个三角形不就是全等三角形吗？

      由此，我们得到了第一种判定三角形全等的方法：三角形三条边，三个角相等，则两三角形相等，符号语言如上图：

      然而就如同上图的证明过程一样，用三条边三个角相等的来判断三角形全等，似乎太过于复杂了，就连过程也要写那么多。那么，到底有没有更加简便的方法来证明两三角形全等呢？我们不知道，但是我们可以一一探索。如何探索呢？在不知道具体要多少种条件才能判断三角形全等时，为了追求数学的简洁性，一般来说会从最少的条件慢慢往上加，直到条件加到足以证明猜想时才会停止，探索多少种条件能够证明三角形全等也不例外，当然，不管条件或多或少，都必须属于三角形要素角或边。

      根据条件从少到多，每一个条件都要属于三角形要素的原则，我们可以列出如下几种可能性：

      1:两三角形一条边相等，则两三角形全等。

      2:两三角形一个角相等，则两三角形全等。

      3:两三角形两条边相等，则两三角形全等。

      4:两三角形两个角相等，则两个三角形全等。

      5:两三角形一角一边相等，则两三角形全等。

    6:两三角形三个角相等，则两三角形全等。

      7:两三角形三条边相等，则两三角形全等。

      8:两三角形两角和两角的夹边相等，则两三角形全等。

      9:两三角形两角和一角的对边相等，则两三角形全等。

    10:两三角形两边和两边的夹角相等，则两三角形全等。

    11:两三角形两边和一边的对角相等，则两三角形全等。（这些可能直接放在PPT上）

    …

    此外，还有许多种可能性，但就让我们先证明一下以上11种可能能够判定三角形全等的条件吧：

    经过实际操作，一个条件判定三角形全等的可能和两个条件判定三角形全等的可能都被举反例证伪了，具体过程可以自行尝试，为了节省时间没有放出来，让我们将目光转向三个条件判定三角形全等的可能吧：

    第一种可能，两三角形三个角相等，两三角形全等，可以举出反例：以上的三角形ABC和三角形A ‘ B ’ C ‘，三个角分别相等，但是两个三角形的三个边都不相等。也就证明了第一条猜想是错误的。但是两个三角形的所有角都相等，虽然这两个三角形未必全等，却还是具有一定的特殊性，我们管这种特殊的三角形叫做相似三角形。

    第二种可能，两三角形三条边相等，两三角形全等，如图的三角形AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'，而这两个三角形刚好全等，这到底是一个巧合，还是一个新的判定三角形全等的方法呢？那就让我们在所有三角形中都试一试吧，分别画两个三边相等的锐角三角形，三边相等的直角三角形，和三边相等的钝角三角形，看看这两个三角形是否都全等，答案是，他们真的都全等！看样子我们发现了第一个更加简便的判定三角形全等的方法：两三角形三条边相等，则两三角形全等，简写语言可以用（边边边）或（SSS），不过只是画出了几个三边相等的三角形，而这几个三角形全等，难道不可能是一种机缘巧合吗？也有可能啊？我们似乎不能证明，如果两个三角形的边边边相等，那么这两个三角形全等，这可怎么办？没办法，只能将我们新发现的判定三角形全等的方法标为不证自明的公理，不需要证明，为了增强可信性，我们又进行了多组几何变换实验，最终确定了这条新公理。符号语言如下图

    第三种可能：两三角形的两个角以及两个角的夹边相等，则两个三角形全等，根据上图，我们又发现符合这一点的随机两个三角形全等，难道这又是一条新的定理或者公理？赶紧将两个角以及两个角的夹边相等的两个锐角三角形，两个直角三角形，两个钝角三角形都画出来，果然这些三角形都全等，我们又发现了一条判定两个三角形全等的方法了，和（SSS）一样，两个角以及两个角的夹边相等，两三角形全等，同样不能被推理证明，属于公理，简写语言可以是（角边角）或（ASA），符号语言如下。

    第四种可能：同样是两个角以及一条边相等，但是第四种可能是两个角以及一个角的对边相等，在这种情况下两三角形还全等吗？相等，其实两个角以及一角对边相等的两个三角形全等根本就不需要画图证明，而可以直接证明：

    因为：角C=角C'，角B=角B'

    所以：角A=角A‘=180度-角C-角B

    因为：在三角形ABC和A’B'C'中，角A=角A'，角B=角B'，A B等于A ‘B ’

    所以：三角形ABC全等与A'B'C'（ASA）

    利用两三角形的两角及两角的夹边相等公理，我们能够推导出两角及一角的对边相等，因为能够用严谨的逻辑推理证明证明出这一点，所以两三角形两角和一角的的对边相等，则两三角形全等是一个公理，简写语言可以是（角角边）或（AAS）。符号语言如下

    第五种可能：两三角形两边及两边的夹角相等，则两三角形全等，随即画出的三角形是全等的，在分别画出俩三角形，两边及两边的夹角相等的两个锐角三角形，直角三角形，和钝角三角形，发现他们都相等，这说明第四个快速判定三角形全等的方法来了：当两三角形的两边及两边的夹角相等，则两三角形全等，这种方法不能证明，同样是公理。符号语言如下。

   

    第六种可能：两三角形两边及一边的对角相等，两三角形全等，这种情况之下我们可以画出反例，如图，两个三角形ABC的角A相等，B A边和B C边也分别相等，但是这两个三角形并不全等。也就由此证明了两三角形两边及一边的对角相等，并不一定会使两个三角形全等。

    通过一番探索，我们发现在得到三个三角形要素作为条件的时候，有四种可能可以证明三角形全等，一种是两三角形，三边相等，则两三角形全等。一种是两三角形两角及两角所夹的边相等，则两三角形全等。一种是两三角形两角及一角对边相等，则两三角形全等，。一种是两三角形两边及两边的夹角相等，两个三角形全等。

      利用这些三角形全等的判定方法，我们可以成功地解决几何当中的许多问题，这些几何问题无非是给你几个条件，然后让你根据给出的条件以及自己所发现的条件去证明其中的两个三角形全等，在最后根据三角形全等性质推测出两个角或者两个边相等。就比如说以下问题。

     

   

    在课堂上，但我学完证明三角形全等的时候，我心里是既激动又疑惑的，激动在于我们用了那么多的时间，那么多的巧妙的逻辑推理证明，最终竟然得出了三种非常简单，就能判定两个三角形全等的方法，实在是成就感满满的，一会又在于三角形全等在现实生活中到底有什么用，当时我是这样想的：“也许三角形全等在现实生活中就根本没有任何用处，之所以要学习三角形全等，只不过为了锻炼人们的推理证明能力而已”，但是在之后的学习中，我非常惊喜的发现事实并不是这样的，三角形全等确确实实可以用在现实生活中，而且是解决现实生活中的测量问题

     

        在接下来，只需要测量在自己岸边的线段M N的距离，可以知道线段B C的距离，也就是小河的宽，为什么呢？因为根据垂线定义B C垂直于C M ，M N垂直于M C，所以角B C A等于角NM A=90度，因为角D A C和角N A M是对顶角，所以两个角相等，最后，因为在三角形ABC和三角形A M N中：角B CA等于角A M N，A C等于AM（这是画图的时候就已经得知的信息，相当于已知信息），角B A C等于角，M A N，所以三角形ABC全等于三角形A MN，依据就是以上推导出来的边角边（ASA），然后用因为三角形ABC全等于三角形A MN，所以B C等于MN，所以只要测量M N的距离，就能测量出B C的距离。   

      这便是神奇的三角形全等了，除了可以应用到实际生活中，又或者解决几何问题，三角形全等的作用还延伸到了许多其他的概念当中，比如说最近我们学的轴对称，以及探索我们生活中的其他简便图形的性质，就都可以用三角形全等，又或者三角形全等判定和三角形全等性质进行求得。