Question

如图,在三角形ABC中,∠C=60°,BE垂直于AC于E,AD垂直于BC于D,求证DE=1/2AB

Answer 1

一、当点E在CA的延长线上时,分别令AB、BC的中点为F、G.
∵AE⊥BE、AD⊥BD,∴A、D、B、E共圆,∴∠CED＝∠GBF.······①
∵F、G分别是AB、BC的中点,∴FG∥AC,∴∠ECD＝∠BGF.······②
∵∠ECB＝60°、CE⊥BE,∴CE＝BC/2＝GB.······③
由①、②、③,得：△CED≌△GBF,∴DE＝FB＝AB/2.
二、当点E在AC上时,分别令AB、BC的中点为H、G.
∵AE⊥BE、AD⊥BD,∴A、E、D、B共圆,∴∠CED＝∠GBH.······④
∵H、G分别是AB、BC的中点,∴HG∥AC,∴∠ECD＝∠BGH.······⑤
∵∠ECB＝60°、CE⊥BE,∴CE＝BC/2＝GB.······⑥
由④、⑤、⑥,得：△CED≌△GBH,∴DE＝HB＝AB/2.
综合上述一、二,得：DE＝AB/2.　［注：当A、E重合时,结论也成立.］