迭代法求方程的根
迭代法求方程的根
若非线性方程f ( x ) = 0 f(x) = 0f(x)=0中的 f ( x ) f(x)f(x) 在[ a , b ] [a,b][a,b] 上连续,且严格单调,f ( a ) f ( b ) f(a)f(b)f(a)f(b),则非线性方程在[a,b] 上有且仅有一个根. 此时可以使用二分法求出该单根.
二分法的基本思想是,逐步将含根区间二等分,通过判别区间端点的函数值符号,进一步搜索含根区间,使含根区间长度缩小到充分小,从而求出满足给定精度的根的近似值.
迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法),即一次性解决问盯返题。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法,它利用坦虚计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行。
在每次执行这组指令(或这些步骤)时,都从变量的原值推出它的一个新值,迭代法又分为精确迭代和近似迭代。比较典型的迭代法如“二分法”和"牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代法的主要研究课题是对所论问题构造收敛的迭代格式,分析它们的收敛速度及收敛范围。迭代法的收敛性定理可分成下列三类凯信饥:
①局部收敛性定理:假设问题解存在,断定当初始近似与解充分接近时迭代法收敛;
②半局部收敛性定理:在不假定解存在的情况下,根据迭代法在初始近似处满足的条件,断定迭代法收敛于问题的解;
③大范围收敛性定理:在不假定初始近似与解充分接近的条件下,断定迭代法收敛于问题的解。
迭代法在线性和非线性方程组求解,最优化计算及特征值计算等问题中被广泛应用