方向导数与梯度公式
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方向导数与梯度公式
方向导数:若u=f(x,y)在点(x0,y0)处可微分,则沿方向el=(cosα,cosβ)的导数为:
其中cos^2(α)+cos^2(β)=1。在函数不存在偏导时,方向导数也可能存在,例如f(x,y)=√(x^2+y^2)在(0,0)处,不存在偏导数,但各方向方向导数存在且为1。当然,假如函数可微,那么必定有方向导数,且可用下式计算。
对于自变量更多的函数,式子类似,都是函数对于该未知量求偏导后,乘以求导方向的单位向量中的对应项
梯度:若函数在D内具有一阶连续偏导数,则对于D内任意一点(x0,y0),都可确定一个向量
这个向量就叫函数在点(x0,y0)处的梯度,记作grad f(x,y)
某一点方向导数最大值,就是那一点梯度的膜,最小值则为相反数
在求曲面切平面时,把曲面表达式中所有非零的项放到一边,令等式另一边的0变为一个新的因变量,此时新构成的函数的梯度就是切平面的法向量。例:z=x^2-e^(xy),则新构成的式子为F(x,y,z)=x^2-e^(xy)-z,则定义域内某一点的切平面的法向量为
(2x-y*e^(xy),-x*e^(xy),-1)
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