Question

为什么supg(x)=-inf(-g(x))?

Answer 1

是sup(f(x))=-inf(-f(x))。
设inf(-f(x))=α，supf(x)=β，根据下确界定义，对任意ε>0，存在x∈D，使-f(x)≤α+ε，即，对任意ε>0，存在x∈D，使f(x)≥-α-ε，容易看出-α满足f(x)上确界定义，故-α=β，即inf(-f(x))=-sup(f(x))，sup(f(x))=-inf(-f(x))。
sup(X)是取上限函数，inf(X)是取下限函数。sup是supremum的简写，意思是：上确界，最小上界。inf是infimum的简写，意思是：下确界，最大下界。