已知函数f(x^2-1)的不定积分怎样求?
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答案:
1/(x^2-1)=1/(x+1)(x-1)。
=a/(x+1)+b/(x-1)。
=[(a+b)x+(b-a)]/(x+1)(x-1)。
所以a+b=0,b-a=1。
a=-1/2,b=1/2。
所以原式=-1/2∫1/(x+1)dx+1/2∫1/(x-1)dx。
=-1/2*ln|x+1|+1/2*ln|x-1|+C。
=1/2*ln|(x-1)/(x+1)|+C。
把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
由定义可知:
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
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