Question

数学题目解析？

Answer 1

（1）抛物线y=(-1/2)*x^2+bx+c经过点B(-4,0)和C(0,2)，联立方程
①(-1/2)*(-4)^2+b*(-4)+c=0
②(-1/2)*0^2+b*0+c=2
解得：b=-3/2，c=2
则抛物线表达式为：y=(-1/2)*x^2-(3/2)*x+2
（2）直线BC经过点B(-4,0)和C(0,2)，则直线BC的表达式为：x-2y+4=0

设点P坐标为(p,(-1/2)*p^2-(3/2)*p+2)，其中-4<p<0
则PD=|p+p^2+3p-4|/√(1^2+2^2)=|p^2+4p-4|/√5
因为-4<p<0，即p(p+4)=p^2+4p<0，p^2+4p-4<0
所以PD=-(p^2+4p-4)/√5
又因为PF=(-1/2)*p^2-(3/2)*p+2
所以√5*PD+2PF
=-(p^2+4p-4)-p^2-3p+4
=-2p^2-7p+8
=-2*(p^2+7p/2-4)
=-2*[(p+7/4)^2-4-49/16]
=-2(p+7/4)^2+113/8
即√5*PD+2PF的最大值为113/8
（3）点Q坐标为(-2,1)，原抛物线顶点为(-3/2,25/8)
设新抛物线的顶点坐标为(x,y)，则x-3/2=-4，且y+25/8=2
解得：x=-5/2，y=-9/8
设新抛物线的顶点式表达式为：y'=a*(x+5/2)^2-9/8
又因为新抛物线仍然过点C(0,2)
所以a*25/4-9/8=2，a=1/2
所以新抛物线表达式为：y'=(1/2)*(x+5/2)^2-9/8=(1/2)*x^2+(5/2)*x+2
假设存在点M，使得以Q、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形
设点M坐标为(m,0)，点N坐标为(n,(1/2)*n^2+(5/2)*n+2)，其中n≠0
已知Q(-2,1)，C(0,2)
情形一：QN是对角线
则向量QC=向量MN
①0-(-2)=n-m
②2-1=(1/2)*n^2+(5/2)*n+2-0
解得：n=-5/2±√17/2，m=-9/2±√17/2
所以M(-9/2+√17/2,0)，或M(-9/2-√17/2,0)
情形二：QM是对角线
则向量QC=向量NM
①0-(-2)=m-n
②2-1=0-(1/2)*n^2-(5/2)*n-2
解得：n1=-2，m1=0；n2=-3，m2=-1
所以M(0,0)，或M(-1,0)
情形三：QC是对角线
则向量QM=向量NC
①m-(-2)=0-n
②0-1=2-(1/2)*n^2-(5/2)*n-2
解得：n=-5/2±√33/2，m=1/2∓√33/2
所以M(1/2-√33/2,0)，或M(1/2+√33/2,0)
综上所述，符合题意的M存在6种，坐标分别为：
(-9/2+√17/2,0)，(-9/2-√17/2,0)，(0,0)，(-1,0)，(1/2-√33/2,0)，(1/2+√33/2,0)