Question

高一数学增减性

判断函数f（x）=x+1/x 在（0，+∞）上的单调性？详细 给分

Answer 1

设x1、x2为f(x)在(0，+∞)的任意两点，且x1<x2
f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-x1-1/x1
=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)
=(x2-x1)[1-1/(x1x2)]
当x1、x2在(0,1]区间内时，x1<x2，x2-x1>0，1-1/(x1x2)<0
故f(x2)-f(x1)<0
f(x)在(0,1]上单调递减
当x1、x2在[1，+∞)区间内时，同理，x2-x1>0，1-1/(x1x2)>0
故f(x2)-f(x1)>0
f(x)在[1，+∞)上单调递增

函数f(x)=1/x
x<1,f(x)>1
x>1,f(x)<1
要判定1-1/(x1x2)的正负
x1x2在(0,1]区间时<1,在[1，+∞)区间>1

Answer 2

（0，1）增，（1，＋∞）减

Answer 3

设0<x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-(x2+1/x2)
=(x1-x2)*(x1x2-1)/x1x2
当x2≤1时，x1x2-1<0 所以 f(x1)-f(x2)>0 ，f(x1)>f(x2) 即f(x)在（0,1]s上为减函数。
当x1>1时，x1x2-1>0 所以 f(x1)-f(x2)<0 ，f(x1)<f(x2) 即f(x)在（0，+∞）上为增函数。