Question

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点．？

Answer 1

解题思路：（1）利用线面平行的判定定理，证明线面平行，利用三角形中位线的性质，证明线线平行即可；
（2）证明面面垂直，只需证明线面垂直，利用线面垂直的判定证明线面垂直；
（3）法一：作出二面角A-A 1B-D的平面角，利用余弦定理即可求解；
法二：建立空间直角坐标系，求出平面A 1BD的法向量、平面AA 1B的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
（1）证明：连AB1交A1B于点E，连DE，则E是AB1的中点，
∵D是AC的中点，∴DE∥B1C
∵DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；
（2）证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD，
∵AB=BC，D是AC的中点，∴AC⊥BD
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面ACC1A1；

（3）法一：设AA1=2a，∵AA1=AB，∴AE⊥BA1，且AE＝
2a，
作AF⊥A1D，连EF
∵平面A1BD⊥平面ACC1A1，∴AF⊥平面A1BD，∴EF⊥BA1
∴∠AEF就是二面角A-A1B-D的平面角，
在△A1AD中，AF＝
2

5a，
在△AEF中，EF＝
AE2−AF2＝
2a2−
4
5a2＝

6

5a
∴cos∠AEF＝
EF
AE＝
,9,如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1=AB，D是AC的中点．
（1）求证：B 1C∥平面A 1BD；
（2）求证：平面A 1BD⊥平面ACC 1A 1；
（3）求二面角A-A 1B-D的余弦值．