Question

已知数列{an}满足aₙ₊₁=an+2×3ⁿ+1,a1=3，求{an}的通项公式

Answer 1

a=an+2×3ⁿ+1,
化为a-3^(n+1)-(n+1)=an-3^n-n=……=a1-3-1=-1,
所以an=3^n+n-1.

Answer 2

我们可以通过求通项公式，来找到数列{an}的一般项。
根据题目给出的条件，可以得到以下递推式：
aₙ₊₁ = aₙ + 2 × 3ⁿ₊₁ + 1
然后，我们对递推式进行变形：
aₙ₊₁ - (3ⁿ₊₁ + 1) = aₙ + 2 × 3ⁿ₊₁ - (3ⁿ₊₁ + 1)
化简得：
aₙ₊₁ - 3ⁿ₊₁ - 1 = (aₙ - 3ⁿ - 1) + 2 × 3ⁿ₊₁
令bₙ = aₙ - 3ⁿ - 1，化简后得：
bₙ₊₁ = bₙ + 2 × 3ⁿ₊₁
由此，我们可以看出bₙ是一个等比数列，公比为2×3ⁿ，首项为b₁ = a₁ - 3¹ - 1 = 1。
因此，数列{an}的通项公式为：
aₙ = 3ⁿ + 2 × 3ⁿ × (n - 1) + 1
或者化简为：
aₙ = 3ⁿ(2n + 1) + 1
因此，数列{an}的通项公式为aₙ = 3ⁿ(2n + 1) + 1。
有帮到你的话望采纳 谢谢~