Question

已知微分方程2y''+y'-1/2y=e^x有一个特解y^-x=2/5e^x求微分方程的通解

Answer 1

首先,这个微分方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,其自由项为e^x,二阶非齐次线性微分方程的解的构造有一个定理,表述为：设y*是二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解,函数Y是对应的齐次线性微分方程的通解,则y=Y+y*是二阶常系数线性非齐次微分方程的通解.
这道题已经给出了特解,即知道了y*,故我们只要求出2y''+y'-1/2y=0这个其次微分方程的通解就能得到y.
以下求其次方程的通解.特征方程为2r^2+r-1/2=0,特征根为r1=（-1+根号5）/4,r2=（-1-根号5）/4.故Y=C1e^r1x+C2e^r2x.
所以微分方程2y''+y'-1/2y=e^x的通解为y=Y+y*=C1e^r1x+C2e^r2x+题目的那个特解（我看不清楚你的题目特解是什么形式的,你自己知道,直接加上就行了.）