Question

级数的部分和是否一定发散?

Answer 1

1/n是发散的证明过程如下：

∵∑1/n=1+1/2+1/3+1/4+……＝1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+……＋1/8)+(1/9+……＋1/16)+(1/17+……＋1/32)+……＞1+1/2+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+16(1/32)……＝1+m/2+……，当n→∞时，m→∞，1+m/2→∞发散。∴级数∑1/n发散。

将数列un的项u1，u2，…，un，依次用加号连接起来的函数，是数项级数的简称。如u1+u2+…＋un+…，简写为∑un，un称为级数的通项，记Sn=∑un称之为级数的部分和。如果当n→∞时，数列Sn有极限S，则说级数收敛，并以S为其和，记为∑un=S；否则就说级数发散。

级数

级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。

因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则：∑un收敛＜＝＞任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数p，有｜u+u+…＋u|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。